歌德巴赫猜想

1、依靠现在计算机超强的计算能力，科学家已经验证了4x1018以下的所有偶数都是满足哥德巴赫猜想的。问题是在数学家眼里4x1018还是很小的数，他们有充分的理由怀疑哥德巴赫猜想对10100甚至无限大的偶数是否成立，而这点却难以证明，害得数学家们寝食难安，对哥德巴赫猜想的最终肯定也就一拖再拖。

2、经策划，这天，我和徐迟、李尚杰、王南宁几人一同上楼，临近陈景润房间时，老李去敲门，先进屋。我和徐迟过了10分钟后也去敲门，表示找李书记有急事，然后争取挤进屋去。(歌德巴赫猜想)。

3、本文第一段最后一句说到的“文献(10)”就是这时他以简报形式，在《科学通报》上宣布的，但只提到了结果，尚未公布他的证明。他当时正修改他的长篇论文。就是在这个当口，突然陈景润被卷入了政治革命的万丈波澜。

4、(12) Rademacher,H.(1924,December).Beiträgezurviggobrunschenmethodeinderzahlentheorie.In AbhandlungenausdemMathematischenSeminarderUniversitätHamburg (Vol.3,No.1,pp.12-30).Springer-Verlag.

5、陈景润的幼小心灵受到了极大的创伤。他时常被惊慌和迷惘所征服。在家里并没有得到乐趣，在小学里他总是受人欺侮。他觉得自己是一只丑小鸭。不，是人，他还是觉得自己也是一个人。只是他瘦削、弱小。光是这付窝囊样子就不能讨人喜欢。习惯于挨打，从来不讨饶。这更使对方狠狠揍他，而他则更坚韧而有耐力了。他过分敏感，过早地感觉到了旧社会那些人吃人的现象。他被造成了一个内向的人，内向的性格。他独独爱上了数学。不是因为被压，他只是因为爱好数学，演算数学习题占去了他大部分的时间。

6、引导：阳偶数：2=1+1；8=1+7=3+5；14=1+13=7+7=3+11；20=1+19=7+13=3+17；

7、质数的周期性。图中每一圈的数字都比其内圈的数字正好大2比其外圈的数字正好小2同一圈上的数字之间的差(组成的密集偶数序列)，在其他圈内同样存在。加上前图的信息，我们可以说小于2310的所有偶数都是两个质数的差。——复制自Wang(2021b)。(歌德巴赫猜想)。

8、则筛函数S(A,P,z)就是数对n与N- n的个数，其中n与N - n满足

9、内容来源：《光明日报》(2019年7月26日14版)，原内容有删减

10、埃拉托斯特尼筛法。筛法的原理十分简单，计算者从2开始，将每个素数的倍数筛出，记作合数。埃拉托斯特尼筛法是列出所有小素数最有效的方法之一。图片来源：wikipedia

11、任一大于2的偶数都可以化成每个元素都是1 2×n矩阵。

12、德国人哥德巴赫在1742年提出的两个猜想：

13、点击查看：TwoWaystoProveGoldbachConjecture

14、中国科学院数学所所长华罗庚慧眼识景润(右)

15、女朋友 | 大数据 | 运维 | 书单 | 算法

16、这个密集的偶数数列意味着什么？不急，记住有这个数列的存在就好，再看看别的有意思的东西。

17、他默然收下了。他噙着泪送李书记到大楼门口。李书记扬手走了，赶上了周大姐他们的行列。陈景润望着李书记的背影，凝望着周大姐一行人的背影模糊地消失在中关村路林荫道旁的切面铺子后面了。突然间，他激动万分。他回上楼，见人就讲，并且没有人他也讲。“从来所领导没有把我当作病号对待，这是头一次；从来没有人带了东西来看望我的病，这是头一次。”他举起了塑料袋，端详它，说，“这是水果，我吃到了水果，这是头一次。”

18、陈景润想了一想就答应了，“好，那好，那我下午就在楼门口等你，要不你会找不到的。”

19、需要注意的是30以内的奇质数(即除了2以外的所有质数)之间的差。把它们任意互减一下，你会惊讶地发现，这些差竟然形成一个密集的偶数数列(“密集”在这里的意思是“一个不落、全部、所有、连续”的意思)！

20、从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任何一个大于7的奇数都能被表示成三个奇质数的和。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。

21、(4)Pomerance,Carl (1982).TheSearchforPrimeNumbers. ScientificAmerican. 247 (6):136–1

22、由于哥德巴赫猜想通常被简写为“1＋1”(一个素数加一个素数)，这就让相当多的人误以为它要证明的是1＋1＝就未免让人疑惑证明它有什么用。徐迟在其报告文学中回答说：“大凡科学成就有这样两种：一种是经济价值明显，可以用多少万、多少亿元人民币来精确地计算出价值来的，叫做‘有价之宝’；另一种成就是在宏观世界、微观世界、宇宙天体、基本粒子、经济建设、国防科研、自然科学、辩证唯物主义哲学等等等等之中有这种那种作用，其经济价值无从估计，无法估计，没有数字可能计算的，叫做‘无价之宝’，例如，这个陈氏定理就是。”听上去怪吓人的，但是究竟有什么用，仍然是语焉不详。于是就有人对这个“无价之宝”展开了更具体的科学幻想。美国航天飞机试飞成功时，我就听到有人说，陈景润的证明被美国人用来制造航天飞机了，可惜咱中国人反倒不知道怎么用。

23、随着质数超积的不断增大，哥德巴赫猜想的适用范围也不断扩大。但是哥德巴赫猜想的最终证明取决于两个条件：

24、Thegenesisofprimenumbers----Revealingtheunderlyingperiodicityofprimenumbers.AdvancesinPureMathematics11,12-

25、但当他已具备了充分依据，他就以惊人的顽强毅力，来向哥德巴赫猜想挺进了。他废寝忘食，昼夜不舍，潜心思考，探测精蕴，进行了大量的运算。一心一意地搞数学，搞得他发呆了。有一次，自己撞在树上，还问是谁撞了他？他把全部心智和理性统通奉献给这道难题的解题上了，他为此而付出了很高的代价。他的两眼深深凹陷了。他的面颊带上了肺结核的红晕。喉头炎严重，他咳嗽不停。腹胀、腹痛，难以忍受。有时已人事不知了，却还记挂着数字和符号。他跋涉在数学的崎岖山路，吃力地迈动步伐。在抽象思维的高原，他向陡峭的巉岩升登，降下又升登！善意的误会飞入了他的眼帘。无知的嘲讽钻进了他的耳道。他不屑一顾；他未予理睬。他没有时间来分辩；他宁可含垢忍辱。餐霜饮雪，走上去一步就是一步！他气喘不已；汗如雨下。时常感到他支持不下去了。但他还是攀登。用四肢，用指爪。真是艰苦卓绝！多少次上去了摔下来。就是铁鞋，也早该踏破了。人们嘲笑他穿的鞋是破了的：硬是通风透气不会得脚气病的一双鞋子。不知多少次发生了可怕的滑坠！几乎粉身碎骨。他无法统计他失败了多少次。他毫不气馁。他总结失败的教训，把失败接起来，焊上去，作登山用的尼龙绳子和金属梯子。吃一堑，长一智。失败一次，前进一步。失败是成功之母；功由失败堆垒而成。他越过了雪线，到达雪峰和现代冰川，更感缺氧的严重了。多少次坚冰封山，多少次雪崩掩埋！他就像那些征服珠穆朗玛峰的英雄登山运动员，爬呵，爬呵，爬呵！而恶毒的诽谤，恶意的污蔑像变天的乌云和九级狂风。然而热情的支持为他拨开云雾；爱护的阳光又温暖了他。他向着目标，不屈不挠；继续前进，继续攀登。战胜了第一台阶的难以登上的峻峭；出现在难上加难的第二台阶绝壁之前。他只知攀登，在千仞深渊之上；他只管攀登，在无限风光之间。一张又一张的运算稿纸，像漫天大雪似的飞舞，铺满了大地。数字、符号、引理、公式、逻辑、推理，积在楼板上，有三尺深。忽然化为膝下群山，雪莲万千。他终于登上了攀登顶峰的必由之路，登上了(1＋2)的台阶。

26、(6) Hardy,G.H.andLittlewood,J.E.(1923). SomeProblemsofPartitioNumerorum(III):Ontheexpressionofanumberasasumofprimes. ActaMathematica. 44:1–

27、的值会“比较大”，而当t接近于分母比较大的既约分数时，上式的值就会“比较小”。也就是说，积分式D(N)的主要部分是在以单位圆上分母比较小的既约分数为中心的一些小区间上，其它的部分上积分则可以作为次要部分而忽略。这也就是圆法的主要思想。

28、再来看看质数超积的几个特点。直接的理论证明是很专业的事，比较枯燥(详见Wang,2021b)，我们先从具体实例出发，再推广到更大的范围。

29、哥德巴赫猜想(GoldbachProblem)

30、熟悉初等数论的人都知道欧拉(L.Euler)在1737年发表的一个著名公式其中遍历所有素数.借由这个公式，我们便将黎曼函数与素数紧密地结合在一起，换句话说：黎曼函数解密了素数的结构。(Bytheway，利用这个乘积可以很简单地证明素数有无限个)利用欧拉的这个公式做引子，黎曼证明了如下结果这里，其中为不大于的素数个数.利用分部积分，黎曼得到这下子联系就比较露骨了，左边是万能的函数，右边是与素数分布直接相关的，那么接下来要做的便是解出：而利用简单的莫比乌斯反演(Mobiusinversion)可以得到这样我们就把素数分布函数完完全全蕴含在黎曼函数之中.

31、哥德巴赫猜想的命题是：任何一个大于二的偶数都可以写成两个质数之和。哥德巴赫猜想猜想之所以成为旷世难题，无非名人效应作祟，常人不敢逾越，简单的问题复杂化了。其实，换一个思路，我们必然豁然开朗，原来如此。

32、陈景润后来不断改进自己的结果，从某种意义上来说已经将筛法的威力发挥到了极致。但很可惜的是，陈景润的加权筛法要证明最终哥德巴赫猜想(“1+1”)需要在加权筛中取x=而这将导致估计主项和余项变得难以实现。所以如今数学界的主流意见认为，最终证明哥德巴赫猜想，还需要新的思路或者新的数学工具，或者在现有的方法上进行颠覆性的改进。但无论如何，陈景润已经走在了哥德巴赫猜想研究的最前沿。

33、果然，他抵达北京后不几天，接触到几位老朋友，大家一听他来写陈景润，也都好心劝他换个题目。

34、哥德巴赫猜想是人类历史上长达280年悬而未决的数学悬案。哥德巴赫猜想认为“所有大于2的偶数都是两个质数之和”，形象地描述为2=1+最接近完成哥德巴赫猜想最终证明的，是我国著名数学家陈景润，他证明了1+哥德巴赫猜想的表述看似简单，但在数学家眼里却是无比困难。历史上出现过很多相关的不成功努力，但这些论述的复杂程度超出了普通人能够理解的范围。本文给出了一个简明的证明，这是最近发表的《证明哥德巴赫猜想的两个方法》(Wang,2021a)中，相对简单的一种方法，欢迎大家品评和指正。

35、回顾和分析上述的证明过程，我们发现，“质数之间的差构成密集的偶数数列”对于证明所有的偶数都是两个质数之和具有决定性意义。

36、上面两个等式很容易得证：因为P0、PP2为三个不等于2的质数，所以它们都应该是奇数，而两个奇数之和必然为偶数。

37、        欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。

38、同理，从30=11+19出发，固定11不变，可以证明30都是两个质数之和。

39、理解一个人是很难的。理解一个数学家也不容易。至于理解一个恶意的诽谤者却很容易，并不困难。只是陈景润发病了，他病重了。钢铁工厂也来光顾了。陈景润听着那些厌恶与侮辱他的，唾沫横飞的，听不清楚的言语。他茫然直视。他两眼发黑，看不到什么了。他像发寒热一样颤抖。一阵阵刺痛的怀疑在他脑中旋转。血痕印上他惨白的面颊。一块青一块黑，一种猝发的疾病临到他的身上。他眩晕，他休克，一个倒栽葱，从上空摔到地上。“资产阶级认为最革命的事件，实际上却是最反革命的事件。果实落到了资产阶级脚下，但它不是从生命树上落下来，而是从知善恶树上落下来的。”(马克思：《雾月十八日》——二)

40、为此，《人民日报》在同一天的同一版面上还发表了一篇署名陶钧的文章《赞文学家的科学情感》，文章还向读者指明说，此徐迟即彼徐迟，打消读者可能产生的疑问：怎么，作家徐迟会写起高能物理学的高深科学领域的文章？其实，徐迟已经钻研了好几年夸克了，他说：“在接触这门学问的课程中，领略了许多东西，于是想用文学的笔，把它们挑一些出来介绍给读者。”

41、其实，外表看来魁梧，说话声音洪亮的周大姐自己也是一个力疾从公，患有心脏病，应当受到慰问的人。

42、这一年内，他住医院六次，做了三次手术。当然他没有能够好好的教书。但他并没有放弃了他的专业。中国科学院不久前出版了华罗庚的名著《堆垒素数论》。刚摆上书店的书架，陈景润就买到了。他一头扎进去了。非常深刻的著作，非常之艰难！可是他钻研了它。住进医院，他还偷偷地避开了医生和护士的耳目，研究它。他那时也认为，这样下去，学校没有理由欢迎他。

43、(5) Weisstein,EricW. "GoldbachConjecture."From MathWorld--AWolframWebResource. https://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html.

44、“给你灯，”李书记加重了语气说，“接上线，再给你桌子，书架，好不好？”

45、善意的误会，是容易纠正的。无知的嘲讽，也可以谅解的。批判一个数学家，多少总应该知道一些数学的特点。否则，说出了糊涂话来自己还不知道。陈景润被批判了。他被帽子工厂看中了：修正主义苗子，安钻迷，白专道路典型，白痴，寄生虫，剥削者。就有这样的糊涂话：这个人，研究(1＋2)的问题。他搞的是一套人们莫名其妙的数学。让哥德巴赫猜想见鬼去吧！(1＋2)有什么了不起！1＋2不等于3吗？此人混进数学研究所，领了国家的工资，吃了人民的小米，研究什么1＋2＝什么玩艺儿？！伪科学！

46、1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。

47、“你们算了！”老师笑着说，“算了！算了！”

48、李书记看看他，又轻声问他：“是那个(1＋2)？”

49、1978年的春天，徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》让数学家陈景润成了家喻户晓的人物，激发了无数人的科学热情。孩子们在被问到“长大后做什么时”，都响亮地回答：“要当科学家！”“学好数理化，走遍天下都不怕”因此流行。当年3月，全国科学大会召开，知识分子的价值重回神州大地。

50、古希腊数学家、“几何学之父”欧几里得(左)与数学家、地理学家、天文学家埃拉托斯特尼(右)。前者在其著作《几何原本》中提出五大公设，成为欧洲数学的基础。后者设计出了经纬度系统，并计算出地球的直径。

51、对于任意给定的偶数h及充分大的X，用Xh(2)表示满足下面条件的素数p的个数：

52、陈景润曾经是一个传奇式的人物。关于他，传说纷纭，莫衷一是。有善意的误解、无知的嘲讽，恶意的诽谤、热情的支持，都可以使得这个人扭曲、变形、砸烂或扩张放大。理解人不容易；理解这个数学家更难。他特殊敏感、过于早熟、极为神经质、思想高度集中。外来和自我的肉体与精神的折磨和迫害使得他试图逃出于世界之外。他相当成功地逃避在纯数学之中，但还是藏匿不了。纯数学毕竟是非常现实的材料的反映。“这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。”(恩格斯)陈景润通过数学的道路，认识了客观世界的必然规律。他在诚实的数学探索中，逐步地接受了辩证唯物论的世界观。没有一定的世界观转变，没有科学院这样的集体和d的关怀，他不可能对哥德巴赫猜想作出这辉煌贡献。被冷酷地逐出世界的人，被热烈的生命召唤了回来。帮派体系打击迫害，更显出d的恩惠温暖。冲击对于他好像是坏事；也是好事，他得到了锻炼而成长了。病人恢复了健康，畸零人成了正常人。正直的人已成为政治的人。多余的人，为国增了光。他进步显著，他坚定抗击了“四人帮”对他的威胁与利诱。无所不用其极地威胁他诬陷邓副主席，他不屈！许以高官厚禄，利诱他向人妖效忠，他不动！真正不简单！数学家的逻辑像钢铁一样坚硬！今后，可以信得过，他不会放松了自己世界观的继续改造。他生下来的时候，并没有玫瑰花，他反而取得成绩。而现在呢？应有所警惕了呢，当美丽的玫瑰花朵微笑时。

53、哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。

54、(1) Gillings,R.J.(1974).TheRectooftheRhindmathematicalpapyrushowdidtheancientEgyptianscribeprepareit. ArchiveforHistoryofExactSciences,12(4),291-2

55、1900年，著名数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出的著名的二十三个问题，其中第八个问题就涉及三个有关素数的猜想：黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想。至今上述三个猜想的研究虽然较20世纪初已经有了长足的进展，甚至有弱化的情况已经被证明，但三个问题本身均仍未被解决。

56、大凡科学成就有这样两种：一种是经济价值明显，可以用多少万，多少亿人民币来精确地计算出价值来的，叫做“有价之宝”；另一种成就是在宏观世界、微观世界、宇宙天体、基本粒子、经济建设、国防科研、自然科学、辩证唯物主义哲学等等等等之中有这种那种作用，其经济价值无从估计，无法估计，没有数字可能计算的，叫做“无价之宝”，例如，这个陈氏定理就是。

57、将偶数表示为两个素数的和。截至2012年4月，数学家已经验证了4乘以10的18次方以内的偶数，没有发现哥德巴赫猜想的反例

58、这当然只是幻想。数论属于所谓纯数学，而纯数学是不考虑是否有实际用途的，只是纯粹的智力游戏。在一些数学家(例如英国大数学家哈代)看来，纯数学才是真正的数学，就像绘画和诗歌，有着永恒的美，而应用数学则是丑陋和无趣的。常人能够欣赏绘画和诗歌之美，却难以理解数学之美。徐迟曾用了一连串的比喻赞叹陈景润论文之美：“何等动人的一页又一页篇章！这些是人类思维的花朵。这些是空谷幽兰、高寒杜鹃、老林中的人参、冰山上的雪莲、绝顶上的灵芝、抽象思维的牡丹。”这些空洞的语言不过反映了作家看不懂高深莫测的论文而产生的景仰之情。

59、很快，“6+6”、“5+5”、“4+4” 和 “3+3”逐一被攻陷。

60、其实，一方面数学本就与世界的发展密不可分，另一方面快节奏的时代追求“经世致用”本也无可非议。只不过笔者此处更希望从数学本身来看待其存在的意义。如哈代所言，“数学家与画家和诗人一样，是模式的创造者”，数学本身是有其美感存在的。数学界追求真理的旅行，就是发现和创造美的旅行。中科院物理所的曹则贤老师曾在他的书里提到，“读数学、物理书和看小说一样，并非完全能看懂的就是好的”但愿本文的读者也不会被文中偶尔蹦出来的公式吓到，而是可以透过这些繁杂的演算获得属于自己的思考。

61、一九六二年，我国数学家、山东大学讲师潘承洞证明了(1＋5)，前进了一步；同年，王元、潘承洞又证明了(1＋4)。一九六五年，布赫斯塔勃、维诺格拉多夫和数学家庞皮艾黎都证明了(1＋3)。

62、早在他的论文发表时，西方记者迅即获悉，电讯传遍全球。国际上的反响非常强烈。英国数学家哈勃斯丹和西德数学家李希特的著作《筛法》正在印刷所校印。他们见到了陈景润的论文立即要求暂不付印，并在这部书里加添了一章，第十一章：“陈氏定理”。他们誉之为筛法的“光辉的顶点”。在国外的数学出版物上，诸如“杰出的成就”、“辉煌的定理”，等等，不胜枚举。一个英国数学家给他的信里还说，“你移动了群山！”

63、先看看关于质数，我们已经掌握了哪些规律。数学家已经证明以下两条定理：

64、这也是现在哥德巴赫猜想的通常表述方式，其亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。欧拉认为可以将这一猜想视为定理，只可惜他也无法给出猜想的证明。

65、定理三 质数连乘的积(下面简称为“质数超积”)可以无限大。

66、(20) https://asone.ai/polymath/ index.php?title=Bounded_gaps_between_primes.

67、十三岁那年，他母亲去世了。是死于肺结核的；从此，儿想亲娘在梦中，而父亲又结了婚，后娘对他就更不如亲娘了。抗战胜利了，他们回到福州。陈景润进了三一中学。毕业后又到英华书院去念高中。那里有个数学老师，曾经是国立清华大学的航空系主任。

68、一七四二年，哥德巴赫发现，每一个大偶数都可以写成两个素数的和。他对许多偶数进行了检验，都说明这是确实的。但是这需要给予证明。因为尚未经过证明，只能称之为猜想。他自己却不能够证明它，就写信请教那赫赫有名的大数学家欧拉，请他来帮忙作出证明。一直到死，欧拉也不能证明它。从此这成了一道难题，吸引了成千上万数学家的注意。两百多年来，多少数学家企图给这个猜想作出证明，都没有成功。

69、所谓的黎曼函数是无穷级数在这大半个复平面上的解析延拓(analyticcontinuation).因为在这里上述级数是不收敛的，1859年德国数学家伯恩哈德·黎曼(BernhardRiemann)于1859年在其文《论小于给定数值的素数个数》中首先找到了如下的解析延拓    可以证明，在上述解析延拓中除了在处有一个简单的极点(simplepole)外，在整个复平面上是处处解析的，即所谓亚纯函数(meromorphicfunction).通过上述表达式可以证明，黎曼函数满足下列函数方程首先可以从上述表达式中看出黎曼函数在(是正整数)出取值为0，是为平凡零点(但要注意一点解析延拓后的表达式与原来的级数表达式已然不同，所以你不能简单地令然后说                       这毕竟是很多民科“引以为豪”的结果).黎曼发现函数除了有上述平凡零点外也有无穷多非平凡零点(non-trivialzero)，这些零点的性质远比平凡零点来得复杂，黎曼经过研究后提出日后成为数学界最为艰深的猜想——黎曼猜想：黎曼函数所有非平凡零点均位于复平面的直线上学界称这条直线为临界线(criticalline)我们可以很容易地从上面函数方程中看出来黎曼函数确实关于临界线有某种对称性，因此黎曼凭借他强大的直觉猜测很有可能函数所有非平凡零点都是在临界线上的(不过后来事实证明黎曼自己确实是算过一些零点的数值的)。为了对函数进一步研究，黎曼引入了辅助函数容易发现函数的零点恰好便是函数的非平凡零点(因为是极点，所以也就不是函数的零点了)，也就是说函数像一个细密的筛子将函数的所有非平凡零点从其零点中筛了出来。利用复变函数的知识黎曼证明了这下子对称性就变得尤为明显了。我们记为函数的零点便有这里与总是配对出现的。需要注意的一点，上述连乘积展开对于有限多项式虽是显然，但对这种无穷乘积却不总是成立的，这背后蕴含着极其深刻的原因。直到1893年阿达马(Hadamard)对以为代表的整函数(entirefunction)进行系统研究之后，才完完全全证明了黎曼这个表达式。   利用函数黎曼研究了零点分布并且提出以下三个猜测：

70、所以纯粹的数学研究自古以来就一直遭受“有什么用”的质疑。并非只有中国人才特别功利，那个欧几里德用一块金币把质问“学几何有什么用”的学生打发走的著名故事，正说明西人也有这样的疑惑。区别只在于中国少有这种以研究无用的学问为荣的人。

71、自1742年提出至今，哥德巴赫猜想(Goldbach’sconjecture)已经困扰数学界长达三个世纪之久。作为数论领域存在时间最久的未解难题之哥德巴赫猜想俨然成为一面旗帜，激励着无数数学家向着真理的彼岸前行。

72、上面仅仅是对于陈景润“1+2”证明思路的简单梳理，事实上其证明过程十分繁琐，而且需要很高的技巧性。能够最终得出“1+2”的证明，陈景润无愧于数论大师之名。

73、事实上，黎曼猜想传统表述在某种意义上隠藏了其的真正重要性。黎曼ζ函数与素数的分布有着千丝万缕的联系。一般认为，素数在自然数中的分布并没有特别的规律可循，但黎曼猜想却有助于人们重新认识素数的分布规律。

74、“李书记，谢谢你，”陈景润说，他见人就谢。“很高兴，”他说了一连串的很高兴。他一见面就感到李书记可亲。“很高兴，李书记，我很高兴，李书记，很高兴。”

75、阴数数列和阳数数列中都包含了可以被大于3的质数如11等整除的合数，然而，阴数数列和阳数数列相反路劲可以选取替代阴数和替代阳数，两者之和仍然为同一个偶数，这就是说，存在不同的阴数之和或者阳数之和或者阴阳数之和等于同一个偶数的可以相互替换的组合数列；

76、待到工人宣传队进驻科学院各所以后，陈景润被释放了，可以回到他自己的小房间里去住了。不但可以读书，也可以运算了。但是总有一些人不肯放过了他。每天，他们来敲敲门，来查查户口，弄得他心惊肉跳，不得安身。有一次，带来了克丝钳子；存心不让他看书，把他房间里的电灯铰了下来，拿走了。还不够，把开关拉线也剪断了。

77、哈代(左)、李特尔伍德(中)与布朗(右)。哈代，英国数学家，二十世纪英国分析学派的代表人物，其研究对后世分析学和数论的发展有深刻的影响。李利特尔伍德，英国数学家，研究领域涵盖数论和数学分析，与哈代有着长达35年的合作。布朗，挪威数学家，其在数论领域的工作极大地推动了哥德巴赫猜想和孪生素数猜想等的研究。

78、第二天，又上课了。几个相当用功的学生兴冲冲地给老师送上了几个答题的卷子。他们说，他们已经做出来了，能够证明那个德国人的猜想了。可以多方面地证明它呢。没有什么了不起的。哈！哈！

79、一九五七年夏天，数学大师熊庆来也从国外重返祖国首都。

80、自从陈景润被选调到数学研究所以来，他的才智的蓓蕾一朵朵地烂熳开放了。在圆内整点问题，球内整点问题，华林问题，三维除数问题等等之上，他都改进了中外数学家的结果。单是这一些成果，他那贡献就已经很大了。

81、他紧紧握住徐迟的手说：“徐迟，噢，诗人，我中学时读过你的诗。哎呀，徐老，你可别写我，我没有什么好写的。你写写工农兵吧！写写老前辈科学家吧！”徐迟笑了，为了缓解气氛，便对他说：“我来看看你，不是写你，我是来写科学界的，来写‘四个现代化’的，你放心好了。”小陈笑了，天真地说：“那好，那好，我一定给你提供材料。”

82、李书记说，“那好，我不上去了。你有什么事，随时告诉我。我也得去追上他们，到别家去看望看望。”于是握手作别，他返身走。刚走两步，后面又叫，“李书记，李书记！”陈景润又追过来，把水果袋子给了李书记，并说，“给你家的小孩吃吧。我吃不了这多。我是不吃水果的。”李书记说，“这是组织上给你的，不过表示表示，一点点的心意罢了。要你好好保养身体，可以更好地工作。你收下吧，吃不下，你慢慢的吃吧。”

83、一七四二年，哥德巴赫写信给欧拉时，提出了：每个不小于6的偶数都是二个素数之和。例如，6＝3＋又如，24＝11＋13等等。有人对一个一个的偶数都进行了这样的验算，一直验算到了三亿三千万之数，都表明这是对的。但是更大的数目，更大更大的数目呢？猜想起来也该是对的。猜想应当证明。要证明它却很难很难。

84、基于这两条定理，很容易推出下面第三条定理：

85、关于最初的几个偶数，很容易证明哥德巴赫猜想是成立的，例如：

86、哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到二十世纪二十年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路，并在其后的半个世纪里取得了一系列突破。目前最好的结果是陈景润在1973年发表的陈氏定理(也被称为“1+2”)。

87、借助上述方法，哈代和李特尔伍德在1923年的论文中证明了“在假设广义黎曼猜想成立的前提下，每个充分大的奇数都能表示为三个素数的和以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数的和”这里的“广义黎曼猜想”，指的是用狄利克雷L函数代替黎曼猜想中的黎曼ζ函数，其他表述不变。哈代和李特尔伍德的工作使哥德巴赫猜想的证明向前迈进了一大步。

88、或问：这个陈氏定理有什么用处呢？它在哪些范围内有用呢？

89、近年来，数论这一学科的研究中心似乎也在慢慢转移，哥德巴赫猜想的研究热度相对上个世纪中叶也有所下降。不过数学家对于以哥德巴赫猜想为代表的素数相关问题的研究从来没有停止。比较著名的有前面提到的黎曼猜想以及孪生素数猜想。

90、讲好的、讲坏的，两方面意见徐迟都认真倾听。他说：“这样才能做到客观地全面地判断一件事物、一个人。”这期间，他花了很多工夫硬“啃”了陈景润的学术论文。我问他：“好懂吗？”他摇摇头说：“不好懂，但是要写这个人必须对他的学术成就了解一二。虽然对于数学，不可能都懂，但对数学家本人总可以读懂。”

91、青年人又吵起来了。这有什么不得了。我们来做。我们做得出来。他们夸下了海口。